ルートの無限入れ子クイズ - エンジニアのソフトウェア的愛情

結城さん提供の問題、今回はわかりそうでしたので挑戦。
$\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}$
ということは、
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}} \cdots$
ということで、
$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{(\frac{1}{2})^2} \cdot 2^{(\frac{1}{2})^3} \cdot 2^{(\frac{1}{2})^4} \cdots$
となり、
$2^{\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 \cdots}$
で、指数部は1に収束するので、
…答えは「2」、ではないかと。

微妙に間違ってる気がする。というか、説明手抜きすぎ。というか、 $\TeX$ を使いたかっただけのような。

追記:1に収束するのは、初項1/2、公比1/2の等比級数の極限の値なので。これを書いておかないと、さすがにマズいと思ったので、追記です。

さらに追記:もうひとつの解法

元の式を2倍しても $2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}$ 、二乗しても $2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}}$ 、~~答えが正の整数とすると、~~2倍しても二乗しても同じ値になる数ということで、答えは「2」。なるほど〜。ほー。

さらにさらに追記:答えが整数とは問うてないですね。答えありきで書いてしまいました。しかし、追記の多いエントリになってしまった。