「40 - 32 / 2 = 4!」数学篇 - エンジニアのソフトウェア的愛情

もうちっと高速化を目指すために、数学的に考察してみます。
数学の証明なんてもう何年もやっていないので、書き方が変だったり厳密さに欠けたりしていると思いますが、コードに落とすのが目的ということでご容赦を。

ツッコミは、大歓迎です。

前提条件

ふたつの式それぞれを式1、式2とします。

$\frac{a - b}{c} = n$ … (1)
$a - \frac{b}{c} = n!$ … (2)

まず前提条件として。
正の整数を $\mathbb{Z}^+$ とすると、

$a,b,c,n \in \mathbb{Z}^+$
$n \in \mathbb{Z}^+$ から $\frac{a - b}{c} \in \mathbb{Z}^+$
また $a - b \in \mathbb{Z}^+$ から $b < a$

同様に、
$n! \in \mathbb{Z}^+$ から $a - \frac{b}{c} \in \mathbb{Z}^+$
ゆえに $\frac{b}{c} \in \mathbb{Z}^+$
ゆえに $c \le b$

これらをあわせると、
$c \le b < a$

$n=1,2$ のばあい

$n=1,2$ のばあいは $n = n!$ なので、

$a - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

両辺に $\frac{b}{c}$ を加えると、

$a = \frac{a}{c}$
ゆえに $c = 1$

$c$ を元の式に代入すると、

$a - \frac{b}{1} = n$
$a - b = n$
ゆえに $b = a - n$

もう一方の式に代入しても、

$\frac{a - b}{1} = n$
$a - b = n$
ゆえに $b = a - n$

と、おなじ結果が得られる。

結論として、 $n = 1,2$ のばあい、

$b = a - n$
$c = 1$
ただし $a$ は $n$ よりも大きい任意の正の整数

$n=3$ のばあい

$n=3$ のばあい、

$n! = 2\cdot{}n$

なので、

$a - \frac{b}{c} = 2\cdot \frac{a - b}{c}$
$c\cdot{}a - b = 2\cdot{}(a - b)$
$c\cdot{}a - b = 2a - 2b$
$2a - c\cdot{}a = 2b - b$
$(2 - c)a = b$
$a = \frac{b}{2 - c}$

ここで $a,b,c \in \mathbb{Z}^+$ なので、 $a$ が正の数であるためには $c = 1$ でなければならない。しかし $c = 1$ とすると $a = b$ でなければならず、前提条件の $b < a$ に反する。

結論として、 $n = 3$ のばあい、解なし。

$n = 4$ 以上のばあい

式2を $b$ について解くと、

$a - \frac{b}{c} = n!$
$\frac{b}{c} = a - n!$
$b = c\cdot(a - n!)$

前提条件から、

$b \in \mathbb{Z}^+$ 、つまり $c\cdot{}(a - n1) \in \mathbb{Z}^+$
ゆえに $a - n1 \in \mathbb{Z}^+$
ゆえに $n! < a$

また、 $b < a$ なので $\frac{b}{c} < \frac{a}{c}$ となり、

$a - \frac{b}{c} = n!$
$a - \frac{a}{c} < n!$
$c\cdot{}a - a < c\cdot{}n!$
$(c - 1)\cdot{}a < c\cdot{}n!$
ゆえに $a < \frac{c}{c - 1}\cdot{}n!$

$c$ が2以上の正の整数とすると、 $\frac{c}{c - 1} \le 2$ であるため、

ゆえに $n! < a < 2\cdot{}n!$ （ただし $2 \le c$ ）

（ $c = 1$ のばあいは、既出のとおり $n = 1,2$ のばあいになる）

また式2を $c$ について解くと、

$a - \frac{b}{c} = n!$
$\frac{b}{c} = a - n!$
$c = \frac{b}{a - n!}$

ここで $b < a$ なので、

$c = \frac{b}{a - n!}$
ゆえに $c < \frac{a}{a - n!}$

結論として、 $n \ge 4$ のばあい、

$n! < a < 2\cdot{}n!$
$2 < c < \frac{a}{a - n!}$
$b = c\cdot{}(a - n!)$
となる条件と式1をみたす $a,b,c,n$ の組み合わせ

で、コードは？

数式の変形でいっぱいいっぱいになりました。
コードはまた後日…。